Grado: 9.
Asignatura: Matemáticas
Tema: Razones trigonométricas y sus aplicaciones
Propósito: Fortalecer el razonamiento lógico-matemático y la capacidad para resolver problemas aplicando el Teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

✏️ PARTE 1: Aplicación del Teorema de Pitágoras

📘 Concepto:

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

c² = a² + b²

donde:

• $c$ es la hipotenusa.

• $a$ y $b$ son los catetos.

🧩 Modelo de ejercicio:

Un triángulo rectángulo tiene un cateto de 6 cm y otro de 8 cm. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa?

Solución:

c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100

1. Un triángulo tiene un cateto de 9 cm y una hipotenusa de 15 cm. ¿Cuál es la longitud del otro cateto?

2. Un triángulo rectángulo tiene un cateto de 5 cm y el otro de 12 cm. Halla la hipotenusa.

3. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 13 cm y un cateto 5 cm. Encuentra el otro cateto.

📐 PARTE 2: Razones trigonométricas (seno, coseno y tangente)

📘 Concepto:

En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas de un ángulo agudo $\theta$ se definen como:

• sin(θ) = cateto opuesto / hipotenusa​

• cos⁡(θ)=cateto adyacente /hipotenusa​

• tan(θ) = cateto opuesto / cateto adyacente​

🧩 Modelo de ejercicio:

Dado un triángulo rectángulo con catetos de 3 cm y 4 cm, y una hipotenusa de 5 cm, encuentra las razones trigonométricas del ángulo $A$ opuesto al cateto de 3 cm.

Solución:

• sin⁡(A)=3 /5=0.6

• cos⁡(A)=4 /5=0.8

• tan⁡(A)=3 /4=0.75

📝 Ejercicios propuestos:

1. En un triángulo rectángulo, los catetos miden 5 cm y 12 cm. Calcula seno, coseno y tangente del ángulo opuesto al cateto de 5 cm.

2. Dado un triángulo con catetos de 7 cm y 24 cm, y una hipotenusa de 25 cm, halla las razones trigonométricas del ángulo opuesto al cateto de 7 cm.

3. En un triángulo con hihipotenusa de  cm y un cateto de 6 cm, halla el otro cateto y luego las razones trigonométricas del ángulo opuesto al cateto de 6 cm.

🌍 PARTE 3: Problemas de aplicación

📘 Concepto:

Las razones trigonométricas permiten resolver problemas reales relacionados con alturas, distancias, pendientes, escaleras, torres, etc. Se usan junto con el Teorema de Pitágoras para encontrar longitudes y ángulos desconocidos.

🧩 Modelo de ejercicio:

Un árbol proyecta una sombra de 15 m. Si el ángulo de elevación del Sol es de 45°, ¿cuál es la altura del árbol?

Solución:

tan⁡(45∘)=altura /15

1. Una escalera de 10 m forma un ángulo de 60° con el suelo. ¿Qué altura alcanza sobre la pared?

2. Una torre proyecta una sombra de 12 m cuando el ángulo del Sol es 30°. ¿Qué altura tiene la torre?

3. Un avión asciende en línea recta formando un ángulo de 20° con el suelo. ¿A qué altura se encuentra luego de recorrer 500 m?

4. Un poste de luz de 8 m proyecta una sombra de 6 m. ¿Cuál es el ángulo de elevación del Sol?

5. Un observador ve la cima de un edificio con un ángulo de elevación de 35° desde una distancia horizontal de 40 m. ¿Qué altura tiene el edificio?